Navody

Jak rozmnožit škumpu?

Co se stane, když si nejprve obléknete bundu a potom svetr? Nebo nechat těsto péct a pak promíchat? Porušení pořadí akcí má za následek katastrofální výsledek. V matematice je to stejné: příklady je nutné řešit v přesně definovaném pořadí, jinak nebude možné získat správnou odpověď. Náš článek je věnován tomu, jak to udělat správně.

Postup při provádění akcí s čísly

V matematice, stejně jako v životě, se jednokrokové výpočty téměř nikdy nenajdou. Jak již bylo zmíněno, chyba v sekvenci počítání vede k nesprávné odpovědi.

1. Pokud příklad zahrnuje pouze sčítání nebo odčítání, pak se akce provádějí v pořadí zleva doprava.

Nejprve sečteme 17 a 2, dostaneme 19 – 9 + 5.
Nyní odečtěte 9 od 19 a dostanete 10 + 5.
Sečtěte výsledná čísla: 10 + 5 = 15.

Pokud příklad zahrnuje pouze násobení nebo dělení, pak se akce provádějí v pořadí zleva doprava.

Nejprve vynásobíme 2 x 4, dostaneme 8: 8 * 7.
Vydělte 8 8, dostaneme 1 * 7.
Vynásobte 1 x 7: 1 * 7 = 7.

Dostaneme: 2 * 4 : 8 * 7 = 8 : 8 * 7 = 1 * 7 = 7

Ale co když příklad obsahuje sčítání, odčítání, dělení a násobení? Pro další diskusi je nutné zavést nové pojmy:

Akce první fáze je sčítání a odčítání, které se provádí zleva doprava.

Akce druhé fáze – Jedná se o násobení a dělení, které se provádějí zleva doprava.

2. Pokud jsou v příkladu akce první i druhé fáze, pak pro výpočty musíte použít následující pořadí:

Nejprve se provádějí akce druhé fáze v pořadí zleva doprava.
Poté se provádějí akce první fáze v pořadí zleva doprava.

Dostaneme: 2 + 3 * 4 – 5 * 2 + 17 = 2 + 12 – 10 + 17 = 14 – 10 + 17 = 4 + 17 = 21.

Dá se to přirovnat k chůzi ze schodů. Na druhém kroku odspodu máme násobení a dělení a na prvním kroku máme sčítání a odčítání. A když po takovém schodišti sejdeme, pak ten schod nemůžeme hned přeskočit (pokud ovšem nechceme spadnout).

Podívejme se na pořadí, ve kterém se provádějí aritmetické operace ve výrazech se závorkami.

3. Pokud jsou v příkladu uvedeny závorky.

Nejprve se počítají akce v závorkách. V tomto případě je dodržováno stejné pořadí jako ve výrazech bez závorek, tj. nejprve akce druhé fáze a poté první.
Poté se provedou akce mimo závorky, přičemž se zachová správné pořadí počítání.

Například,
20 – 3 + (4 * 8 – 2 * 3) + 3 * 6 =
= 20 – 3 + (32 – 6) + 3 * 6 =
= 20 – 3 + 26 + 3 * 6 =
= 20 – 3 + 26 + 18 =
= 17 + 26 + 18 =
= 43 + 18 = 61.

Takže do našeho žebříčku je přidán další krok s držáky. A nyní začínáme sestupovat ze třetího schodu.

Pokud se ve výrazu objeví závorka, pak se nejprve provedou akce ve vnitřní závorce a poté ve vnější:

1 + (12 – 3 * 2 + (24 – 3 * 6)) =
= 1 + (12 – 3 * 2 + (24 – 18)) =
= 1 + (12 – 3 * 2 + 6) =
= 1 + (12 – 6 + 6) =
= 1 + 12 = 13.

A to je již čtvrtý krok!

4. Pokud se ve výrazu vyskytují mocniny, odmocniny nebo jiné funkce.

Nejprve se vypočítají hodnoty funkcí.
Dále se vypočítají hodnoty v závorkách, přičemž se zachová správné pořadí počítání.
Poté se provedou akce mimo závorky, přičemž se zachová správné pořadí počítání.

Přečtěte si více

Jak dlouho žijí v průměru zakrslí králíci?

Například,
2 3 + 12 – √4 – 2 * 3 =
= 8 + 12 – 2 – 2 * 3 =
= 8 + 12 – 2 – 6 =
= 20 – 2 – 6 =
= 18 – 6 = 12.

A tím dokončíme náš žebříček. Pátou a poslední fází jsou funkční hodnoty. Při řešení jakéhokoli příkladu musíme sestoupit po tomto žebříčku, a pokud tam není žádný krok, prostě ho přeskočte.

Pokud vyřešíte příklad ve špatném pořadí akcí, nedostanete správnou odpověď. Proto vždy funguje pravidlo: „Řešte postupně, nemůžete měnit místa.“

Akce ve výrazech se provádějí v následujícím pořadí:
1. Výpočet funkčních hodnot;
2. Výpočet hodnot v závorkách;
3. Výpočet hodnot mimo závorky.

Akce s počty různých znaků

Pro podrobnou analýzu tohoto tématu je nutné zavést pojem absolutní hodnoty nebo modulu čísla.

Zvažte číselnou řadu a čísla na ní:

kladná čísla budou uspořádána vzestupně zleva doprava,
Záporná čísla se naopak budou zprava doleva snižovat.

Můžete si představit, že dosadíme zrcadlo na 0, pak zobrazí kladná čísla v obráceném pořadí, ale se záporným znaménkem, to znamená, že zrcadlí kladnou část řádku.

Uvažujme čísla -4 a 4. Vzhledem k nule leží ve stejné vzdálenosti: čtyři konvenční jednotky, vyčleněné nalevo a napravo.

Odtud můžeme odvodit definici модуля je vzdálenost od počátku (nuly) k bodu. Modul je označen dvěma vertikálními tyčemi.

Potom |4| = 4 a |-4| = 4.

Více o modulu a jeho vlastnostech se dozvíte v našem dalším článku.

Nyní můžeme uvažovat akce s počtem různých znaků.

Přidání

Sečteme-li čísla se stejným znaménkem, pak se sečtou jejich absolutní hodnoty a před součet se umístí společné znaménko.

Sečteme-li čísla s různými znaménky, pak se absolutní hodnota menšího odečte od absolutní hodnoty většího a před rozdíl se umístí znaménko čísla s větší absolutní hodnotou.

Odčítání

Pro usnadnění výpočtu lze odečítání nahradit sčítáním, v tomto případě si minuend zachová své znaménko a subtrahend jej změní.

Umnogenie a rozdělení

Při násobení absolutní hodnoty čísel se násobí.

Při dělení Absolutní hodnota jednoho čísla se vydělí absolutní hodnotou jiného čísla.

V tomto případě, Chcete-li určit znamení, musíte použít následující pravidla:

Součin a kvocient stejných znamének bude kladný (plus plus plus, mínus mínus plus plus).

Součin a podíl čísel s různými znaménky bude záporný (plus a mínus dávají mínus; mínus a plus dávají mínus).

Pro snadnější zapamatování můžete použít následující tabulku:

Například,
3* (-2) = -6
8: 4 = 2
(-10): 5 = -2
(-4) * (-7) = 28.

Pro doplnění:
1. Absolutní hodnota menšího čísla se odečte od absolutní hodnoty většího čísla.
2. Do odpovědi uvedeme znaménko čísla s větší absolutní hodnotou.

Pro odečítání:
1. Odečítání může být nahrazeno sčítáním a znak subtrahend se mění.
2. Řešíme příklad se sčítáním čísel různých znamének.

Porovnání čísel

Pamatujete si, když jsme se dívali na číselnou řadu?

Když porovnáváme čísla, určíme, které je větší a které menší, tedy které je na číselné ose vpravo a které vlevo.

Porovnejme jako příklad čísla -3 a -5. Vraťme se k číselné řadě. Na něm vidíme, že -3 je více vpravo než -5, což znamená -3 > -5.

Přečtěte si více

Kolik stojí novozélandský králík?

Než s tímto tématem skončíme, pochopme základní vlastnosti operací s racionálními čísly.

Vlastnosti operací s racionálními čísly

Kombinační zákon sčítání: a+(b+c)=(a+b)+c
Komunikativní vlastnost sčítání: a+b=b+a
Sčítání s nulou nezmění číslo: a+0=a
Pro jakékoli číslo a existuje takové číslo -a, že a+(-a)=0
Komunikativní vlastnost násobení: a*b=b*a
Kombinační zákon násobení: a*(b*c)=(a*b)*c
Vynásobením jednou se číslo nezmění: a*1=a
Distributivní vlastnost násobení vzhledem k sčítání: a*(b+c)=a*b+a*c

To byly základní vlastnosti operací s racionálními čísly. Nyní se podívejme na podobné pojmy.

Podobné termíny

Podobné termíny – termíny, které mají stejnou část písmene.

Chcete-li přinést podobné termíny, musíte přidat nebo odečíst koeficienty se stejnou částí písmen. Například:

Jak vidíme, část písmena je stejná, což znamená, že můžeme sčítat a odečítat koeficienty:

Obdržel odpověď 4a. Nyní se podívejme na něco složitějšího:

V tomto příkladu jsou již dvě různé části písmen. Pro podobné výrazy sečteme koeficienty:

S takovými termíny je vše jasné, není to příliš obtížné téma. Nyní se budeme zabývat zaokrouhlováním čísel.

Zaoblovací dláto

V reálném životě často se setkáváme s nepřesnými hodnotamia pro pohodlí je nahrazujeme přibližnými, tedy hodnotami nejbližšími požadovaným. Často můžete například slyšet fráze „téměř 7 kilogramů“, „něco přes hodinu“, „asi 100 stupňů“. Tyto výrazy to naznačují V těchto číslech je nějaká chyba, která se nebere v úvahu.

Abyste pochopili, jak zaokrouhlovat čísla, musíte Podívejme se na jejich složení trochu podrobněji. Velká čísla lze rozdělit na jednotky, desítky, stovky, tisíce atd. Takže v čísle 2309 jsou dva tisíce, tři stovky, nula desítky a devět jedniček.

Pozice (pozice) každé číslice v číselném zápisu se nazývá splnit.

V celých číslech se číslice zvyšují zprava doleva (jednotky, desítky, stovky atd.).
Ve zlomkovém zápisu čísla se číslice zmenšují zleva doprava (desetiny, setiny, tisíciny atd.)

Například v čísle 249,0836:

2 je v kategorii stovek;
4 – až desítky;
9 – do jednotek;
0 – až desetiny;
8 – až setiny;
3 – na tisíciny;
6 – až deset tisícin.

Při dělení čísel nezískáme vždy přesné hodnoty, například 2 není dělitelné 3. Můžeme ale použít zaokrouhlení, pokud nelze dosáhnout plné přesnosti nebo to není potřeba.

Přibližná hodnota čísla je číslo získané zaokrouhlením.

Zaokrouhlování je operace, kdy změníme číslo na jeho přibližnou hodnotu. V tomto případě můžete zaokrouhlit na libovolnou číslici.

Chcete-li zaokrouhlit číslo na libovolnou číslici, musíte napsat číslo jedna číslice doprava a poté zaokrouhlit podle pravidel.

Pokud jsou za číslicí požadovanou pro zaokrouhlení čísla 0, 1, 2, 3 nebo 4, pak se číslice v číslici nemění a zůstává stejná.

Pokud jsou za číslicí potřebnou pro zaokrouhlení číslice 5, 6, 7, 8 nebo 9, pak se číslice v číslici zvýší o jednu.

Zaokrouhlování na celá čísla

Zaokrouhlení čísla na celá čísla, je potřeba zjistit hodnotu pouze jedné číslice za desetinnou čárkou (tedy číslo na desátém místě) a následně použít pravidla pro zaokrouhlování.

Například zaokrouhlení 3,4 na nejbližší celé číslo bude mít za následek 3 a zaokrouhlení 3,7 bude mít za následek 4.

Přečtěte si více

Parazitické houby: popis a foto. Houby související s parazity: názvy

Zaokrouhlete na nejbližší desetinu

Chcete-li zaokrouhlit číslo na nejbližší desetinu, musíte zjistit dvě číslice za desetinnou čárkou a poté zaokrouhlit číslo na jednu číslici za desetinnou čárkou podle pravidel.

Například 67,22 po zaokrouhlení dá 67,2 a 67,29 ≈ 67,3.

Zaokrouhlování na nejbližší setinu

Chcete-li zaokrouhlit číslo na setiny, je třeba zjistit hodnotu tří číslic za desetinnou čárkou a poté zaokrouhlit číslo na dvě číslice za desetinnou čárkou podle pravidel.

Například při zaokrouhlení čísla 140,225 se stane 140,23 a 140,221 ≈ 140,22.

Pomocí tohoto algoritmu můžete zaokrouhlit číslo na jakoukoli požadovanou číslici.

Zaokrouhlení dolů – Toto je zaokrouhlení čísla dolů.

Například zaokrouhlení dolů by bylo 4,072 ≈ 4,07

Nadměrné zaokrouhlení Toto je zaokrouhlení čísla nahoru.

Například zaokrouhlení nahoru by bylo 79,28 ≈ 79,3.

Zaokrouhlování nahoru a dolů lze použít k řešení slovních úloh, ale ne vždy je možné použít pravidla pro zaokrouhlování s čísly. Podívejme se na pár příkladů. K tomu vyřešíme několik Úlohy č. 1 z Jednotné státní zkoušky ze základů matematiky.

Příklad 1. Pomeranče stojí 95 rublů za kilogram. Kolik kilogramů pomerančů si můžete koupit za 361 rublů?

Řešení. Vydělte 361 95, dostaneme:
361:95 = 3,8.

To znamená, že za celé množství si můžete koupit 3 kilogramy a 800 gramů pomerančů. Problém se však ptá pouze na kilogramy, takže za 361 rublů koupíte pouze 3 kilogramy pomerančů.

odpověď: 3.

Řešením se ukázalo číslo 3,8 a podle pravidel jsme ho museli zaokrouhlit na 4. Na 4 kilogramy bychom ale neměli dost peněz, proto se zde používá zaokrouhlení s nevýhodou.

Příklad 2. Obytný dům má pět vchodů. V každém vchodu je 20 bytů. Sasha žije v bytě 68. Ve kterém vchodu bydlí Saša?

Řešení. Vydělte 68 20:
68:20 = 3,4.

Pak bude 68. byt umístěn ve čtvrtém vchodu, protože ve třech vchodech bude pouze 60 bytů, což znamená, že dalších osm je umístěno ve vedlejším vchodě.

odpověď: 4.

Přesto, že se ukázalo řešení 3,4, použili jsme přeokrouhlení kvůli situaci v samotném problému.

Při práci s běžnými čísly nezapomeňte použít pravidla.

Čísla jsou v matematice nepostradatelným nástrojem. Stejně jako slova ve větách se čísla (stejně jako proměnné označované písmeny) používají k vytváření výrazů, které mají svůj jedinečný význam. Pokud se tedy chceme naučit řešit jakékoli úlohy, musíme umět pracovat s čísly, správně počítat příklady a zaokrouhlovat. S těmito znalostmi pro nás budou příklady jakékoliv složitosti velmi snadné.

Podmínky

Práce čísla je výsledkem jejich množení.

Dílčí číslo je výsledkem dělení jednoho čísla druhým.

Kontrola faktů

Pokud úkol obsahuje vyjádření v několika krocích, pak se nejprve vypočítají hodnoty funkcí, za hodnotou v závorkách a na konci hodnoty mimo závorky (v tomto případě se nejprve vypočítávají akce druhé fáze a poté akce první fáze) .
Pro výpočet hodnoty akce s čísly různých znaků, musíte použít absolutní hodnotu čísla a správně určit znaménko v odpovědi.
Někdy je nemožné (nebo není nutné) získat přesnou hodnotu čísla, v tomto případě můžete použít zaokrouhlování.
Zaokrouhlení nahoru se nazývá zaokrouhlení v hojnostia v menší míře – s nevýhodou.

Přečtěte si více

Jakým tmelem mám utěsnit spáru mezi vanou a obklady?

zkontroluj se

1 úloha.
V jakém pořadí jsou operace prováděny ve výrazech s čísly? Jaká akce je v příkladu provedena jako první (7+36-5*(29+8:4)-3*4^3+27*9:6)?

2 úloha.
Vyberte správně vyřešený příklad:

(6*7=42)
(81:9=-9)
((-3)*4=12)
((-7):(-1)=-7)

3 úloha.
Vyberte správně vyřešený příklad:

(-3-2=5)
(21-5=-16)
(-2-(+34)=36)
(42-50=-8)

4 úloha.
Které číslo se zaokrouhlí nahoru při zaokrouhlování na nejbližší setiny?

5 úloha.
Které číslo bude při zaokrouhlování na celá čísla zaokrouhleno dolů?

Odpovědi: 1. – šestnáct; 2. – šestnáct; 3. – šestnáct; 4 – šestnáct; 5. – 2.

Účast zdarma. Mediální důkazy okamžitě.
Okamžitě 10 dokumentů v portfoliu.
Peněžní bonus.

Lekce 6 7. Násobení součtu číslem Cíle: představit různé způsoby násobení součtu číslem; upevnit schopnost řešit problémy studovaného typu. Plánované výsledky: studenti se naučí modelovat techniky násobení součtu číslem pomocí schematických nákresů; číst rovnosti pomocí matematické terminologie; řešit úlohy probraných typů 6. hodina 7. Násobení součtu číslem

Lekce 6 7.docx
obrázky

Lekce 6. Násobení součtu číslem Cíle: zavést různé způsoby násobení součtu číslem; upevnit schopnost řešit problémy studovaného typu. Plánované výsledky: studenti se naučí modelovat techniky násobení součtu číslem pomocí schematických nákresů; číst rovnosti pomocí matematické terminologie; řešit problémy studovaného typu. Postup lekce 12 3 8 7 6 5 40 20 60 3 81 9 28 7 5 20 20 4 I. Organizační moment II. Aktualizace znalostí 1. Ústní počítání Hra „Ticho“ (Učitel ukazuje prázdný čtverec, studenti ukazují kartičku s číslem. Chyby jsou analyzovány s vysvětlením správného řešení.) 90 Dividenda Dělitel 3 Podíl 2. Minuta pro zvědavce – Kolik obdélníků a trojúhelníků je na obrázku? (18 obdélníků, 40 trojúhelníků.) 3. Práce na problémech – Řešení problémů. • Anya si koupila pravítko, poznámkový blok a pero. Kolik zaplatila za nákup, pokud pravítko stojí 20 rublů, notebook stojí 10 rublů. dražší, ale propiska stojí stejně jako pravítko? • Míša dostala 50 rublů na drobné. a 3 další mince po 10 rublech. Jak velké změny Míša dostala? • Yura měl 90 rublů. Koupil 2 koláče za 10 rublů. Kolik peněz Jurovi zbývá? — Co mají společné problémy, které jste řešili? Jak se nazývají veličiny v těchto úlohách? (Cena, množství, náklady.) III. Sebeurčení pro aktivitu (Výraz je napsán na tabuli.) (5 + 3) • 2 – Přečtěte si výraz. (Součet čísel je 5 a vynásobený 2.) – Kolikrát se součet 5 + 3 opakuje? (2.) – Znázorněme to tyčinkami dvou barev. Položte 5 tyčinek jedné barvy a tři tyčinky jiné barvy. Kolikrát jsi vyložil součet 5 + 3? (Sám.) Co je třeba udělat dál? (Rozložte další takovou částku.) Znovu rozložte částku. — Jak můžete vypočítat výsledek? (Sečtěte tyčinky v první řadě a vynásobte 2.) (Učitel píše na tabuli.) (5 + 3)2 = 8 = 2 – Jak jinak můžete vypočítat výsledek? (Nejprve přidejte tyčinky jedné barvy, pak další a sečtěte výsledky.) (Učitel napíše na tabuli.) (5 + 3)2 = 5 + 2 = 3 + 2 = 10 – Jak vynásobíte součet číslo? Přečtěte si obě rovnice v matematickém jazyce. (7. Nejprve jsme našli součet, pak výsledek vynásobili 2. 2. Nejprve jsme vynásobili první termín, poté druhý termín a sečetli výsledky.) – Formulujte téma a cíle lekce. IV. Práce na téma lekce 1. Práce podle učebnice – Podívejte se na obrázek na str. 6. Přečtěte si výraz. — Řekni mi, jak lze součet čísel 4 a 3 vynásobit 2. č. 1 (str. 6). – Přečtěte si podmínku a otázku úkolu. – Podívejte se na obrázky. — Jak zjistíte kupní cenu z prvního obrázku? (Nejprve si můžete spočítat, kolik stojí pár: podšálek a šálek, pak cenu vynásobte 2.) – Zapište první způsob řešení akcí. Řešení: 1) 2+1 = 3 (rub.) cena šálku s podšálkem; 2) 3 + 3 = 6 (rub.). Odpověď: celý nákup stojí 6 rublů. – Podívejte se na druhý výkres. Řekněte nám, jakým jiným způsobem můžete zjistit cenu nákupu. (Nejprve zjistěte, kolik stojí dva šálky, pak dva podšálky a sečtěte výsledky.) – Zapište si tento způsob řešení akcí. Řešení: 1) 2 + 2 = 4 (rub.) – náklady na dva šálky; 2) 1 + 1 = 2 (rub.) – náklady na dva talířky; 3) 4 + 2 = 6 (rub.). Odpověď: celý nákup stojí 6 rublů. — Která metoda je výhodnější? (Odpovědi dětí.) 1. Dokončení úkolu v sešitu č. 19(1) (str. 10). (Nezávislá implementace. Hromadné ověření.) V. Lekce tělesné výchovy Tohle je pravá ruka, Toto je levá ruka. Vpravo je hlučný dubový háj, vlevo prudká řeka. Napravo je háj a nalevo je něčí zeleninová zahrádka. A když jsem se otočil, (Otoč.) Všechno bylo naopak. Najednou byl vlevo dubový háj a vpravo prudká řeka. Stala se moje levá ruka pravou? VI. Konsolidace studovaného materiálu 1. Práce na učebnici č. 2 (str. 6). – Přečtěte si úkol. — Co znamená „najít obvod postavy“? — Jak zjistit obvod trojúhelníku? — Zapište si výraz a najděte jeho význam. (Vzájemná kontrola. Ti, kteří dokončí úkol rychleji než ostatní, mohou být navíc požádáni o dokončení úkolu v polích (str. 6) 2. Plnění úkolů v sešitu č. 9 (str. 6). (Nezávislá implementace. Vzájemné ověřování.) č. 10 (str. 6). (Práce ve dvojicích. Ověření Ti, kteří dokončí úkol rychleji než ostatní, mohou být navíc požádáni o dokončení č. 11 (str. 7) VII. Reflexe („Otestujte se“ (učebnice, str. 6). Vlastní provedení. Studenti zapíší dvě řešení. Dva studenti pracují u tabule. Ověření Notebook můžete používat pro samostatnou práci a testy (samostatná práce 15, str. 53).) – Zhodnoťte svou práci ve třídě. VIII. Shrnutí lekce – Co jste se dnes ve třídě naučili? — Který úkol byl nejzajímavější? — Jaký úkol způsobil potíže? Učebnice domácích úkolů: č. 3 (str. 6). Sešit: č. 19 (2, 3) (str.

Přečtěte si více

Co se stane s majonézou, když ji zmrazíte?