Co je tuhost pružiny?

Pokud se těleso po skončení působení vnějších sil vrátí do předchozího tvaru a objemu, pak deformaci a těleso samotné nazývám elastický. Pokud po skončení působení vnějších sil zůstane těleso deformované, pak se nazývá deformace a těleso samotné plastNebo neelastický.

Příklady elastické deformace:

• Stlačený balónek se při uvolnění roztáhne.
• Pokud gumu ohnete a poté uvolníte, narovná se.
• Pod chodcem se lomí most z prken přes potok. Když ale chodec stoupne na zem, prkno se narovná.

Příklady plastické deformace:

• Zmačkaný papír zůstává po uvolnění zmačkaný.
• Plastelína zachovává tvar z ní vyřezané postavy.
• Ohnutá kovová deska zůstane ohnutá.

Hookův zákon

Při elastické deformaci existuje vztah mezi elastickou silou vyplývající z deformace a prodloužením deformovaného tělesa. Tento vztah jako první objevil anglický vědec Robert Hooke.

Modul pružné síly vznikající při deformaci tělesa je úměrný jeho prodloužení.

x — absolutní prodloužení (protažení), k — koeficient tuhosti karoserie.

Absolutní prodloužení je určeno vzorcem:

l – počáteční délka těla, l — délka deformovaného těla, ∆l – změna délky těla.

Koeficient tuhosti karoserie je určen vzorcem:

E — modul pružnosti (Youngův modul). Každá látka má svůj vlastní modul pružnosti. S – průřezová plocha těla.

Důležité! Hookův zákon nefunguje, pokud byla deformace plastická.

Příklad č. 1. Působením síly 3N se pružina prodlouží o 4 cm Najděte modul síly, pod jehož vlivem bude prodloužení pružiny 6 cm.

Podle třetího Newtonova zákona bude modul pružné síly roven modulu síly působící na pružinu. V obou případech bude konstantní pouze tuhost pružiny. Vyjádřeme to z Hookova zákona a aplikujme to na každý z případů:

Srovnejme pravé strany vzorců:

Vyjádřeme a vypočítejme elastickou sílu, která nastane, když je prodloužení pružiny 6 cm:

Pokud je pružina natažena dvěma opačnými silami, pak moduly pružné síly a moduly těchto sil jsou si navzájem stejné:

Pokud je břemeno zavěšeno na pružině, pružná síla bude rovna gravitační síle působící na toto těleso:

Pokud jsou pružiny zapojeny paralelně, jejich celkový koeficient tuhosti se bude rovnat součtu koeficientů tuhosti každé z těchto pružin:

Pokud jsou pružiny zapojeny do série, jejich převrácená hodnota celkového koeficientu tuhosti se bude rovnat součtu převrácených koeficientů tuhosti pro každou z pružin:

Příklad č. 2. Dvě pružiny jsou zapojeny paralelně. Tuhost jedné z pružin je 1000 Nm, druhá – 4000 Nm. Když bylo břemeno zavěšeno na pružiny, prodloužily se o 5 cm. Zjistěte tíhovou sílu břemene.

Převedeme centimetry na metry: 5 cm = 5∙10 –2 m.

Napišme Hookův zákon s přihlédnutím k paralelnímu spojení pružin:

Modul tíže podle třetího Newtonova zákona se rovná modulu pružnosti. Odtud:

Text: Alisa Nikitina, 11.7 tis

Zadání jednotné státní zkoušky-F-DV2023-4

Malá hmota spočívající na hladkém vodorovném stole je spojena pružinou se stěnou. Zatížení se mírně posune z rovnovážné polohy podél osy pružiny a uvolní se z klidu, poté začne oscilovat a pohybuje se podél osy pružiny, rovnoběžně s kterou je osa nasměrována Ox. Tabulka ukazuje hodnoty souřadnic zatížení х v různých časech t. Vyberte všechna správná tvrzení o výsledcích tohoto experimentu na základě údajů obsažených v tabulce. Absolutní chyba měření souřadnic je 0,1 cm, měření času je 0,05 s.

1) V čase 1,50 s je zrychlení zátěže maximální. 2) V okamžiku času 0,50 s je kinetická energie zátěže maximální. 3) Modul síly, kterým pružina působí na zatížení, je v čase 1,00s menší než v čase 0,25s. 4) Perioda kmitání zátěže je 1s. 5) Frekvence kmitání zátěže je 0,5 Hz.

Algoritmus řešení:

1. Ověřte pravdivost tvrzení 1. K tomu je nutné stanovit závislost zrychlení tělesa kmitajícího na pružině na jejích souřadnicích.
2. Ověřte pravdivost tvrzení 2. K tomu je nutné stanovit závislost kinetické energie tělesa kmitajícího na pružině na jejích souřadnicích.
3. Ověřte si pravdivost tvrzení 3. K tomu je třeba napsat vzorec ukazující vztah mezi silou působící na kmitající těleso a souřadnicí tohoto tělesa. Poté najděte silové moduly pro zadané časové hodnoty a porovnejte je.
4. Zkontrolujte pravdivost tvrzení 4. K tomu je nutné definovat periodu kmitání, stanovit periodu kmitání tělesa a porovnat ji s hodnotou uvedenou ve výroku 4.
5. Zkontrolujte pravdivost tvrzení 5. K tomu je nutné definovat frekvenci kmitů, stanovit frekvenci kmitů tělesa a porovnat ji s hodnotou uvedenou ve výroku 5.
6. Odpověď napište jako posloupnost čísel, neoddělujte ji interpunkčními znaménky nebo mezerami.

řešení:

Ověříme pravdivost tvrzení 1, podle kterého je v okamžiku času 1,50 s maximální zrychlení zátěže. Zrychlení zátěže kmitající na vodorovné pružině lze vyjádřit z 2. Newtonova zákona (vezmeme v úvahu, že na těleso působí pružná síla):

Zrychlení se tedy rovná:

Poměr tuhosti pružiny k hmotnosti zatížení je konstantní, protože tyto veličiny se nemění. V důsledku toho je zrychlení úměrné souřadnici kmitajícího tělesa. A pokud je v okamžiku 1,50 s souřadnice tělesa (odchylka od rovnovážné polohy) maximální, pak je maximální i zrychlení. Podle údajů v tabulce je však v tomto okamžiku souřadnice tělesa 0,0 cm. Výrok 1 je tedy nesprávný.

Ověříme pravdivost tvrzení 2, podle kterého je v okamžiku času 0,50 s kinetická energie zátěže maximální. Celková mechanická energie tělesa se rovná součtu jeho potenciální a kinetické energie:

Když je kinetická energie zátěže maximální, potenciální energie je 0. A potenciální energie tělesa kmitajícího na pružině je určena vzorcem:

Potenciální energie bude rovna 0 pouze v případě, že v daném časovém okamžiku bude souřadnice tělesa rovna 0 (je v rovnovážné poloze). V důsledku toho bude kinetická energie zátěže v okamžiku času 0,50 s maximální, pokud je souřadnice tělesa v tomto čase 0. Podle údajů v tabulce tomu tak skutečně je. Proto je tvrzení 2 pravdivé.

Ověříme pravdivost tvrzení 3, podle kterého modul síly, kterým pružina působí na zatížení, je v čase 1,00s menší než v čase 0,25s.

Zapišme si Hookův zákon:

V okamžiku času 1,00 s je souřadnice zatížení –3 cm Vzhledem k tomu, že v těchto výpočtech potřebujeme porovnat pouze 2 moduly síly, nebudeme převádět jednotky měření na SI – pro srovnání stačí, že jednotky změny jsou stejné. Proto je modul pružné síly v čase 1,00 roven:

V okamžiku 0,25 s je souřadnice zatížení 2,1 cm, pružná síla je tedy rovna:

Podle všeho, 3k více 2,1k. Proto je tvrzení 3 nepravdivé.

Ověřte si pravdivost tvrzení 4, podle kterého je perioda kmitání zátěže 1s. Perioda je doba potřebná k dokončení jedné kompletní oscilace. Označuje se písmenem T. Jednotkou měření je sekunda (s). Zátěž dokončí jednu kompletní oscilaci, když se vrátí do své předchozí polohy, přičemž prošla všemi 4 fázemi oscilace. Pokud se tedy zatížení začalo pohybovat se souřadnicí 3,0 rovnou maximální odchylce od rovnovážné polohy, pak periodou bude doba, kterou potřebuje k překonání rovnovážné polohy, odchýlení maximální vzdálenosti v obrácené poloze a vrátit se do své původní polohy, procházet bodem rovnováhy.

Z tabulky je patrné, že polovina kmitavého pohybu zátěže byla dokončena v okamžiku 1,00 s, kdy se vychýlila o maximální vzdálenost v opačném směru. Proto bude trvat stejně dlouho, než se zátěž vrátí do původní polohy. Celkem bude doba 1 úplného kmitu neboli perioda kmitu 2 s. Proto je tvrzení 4 nepravdivé.

Ověřte si pravdivost tvrzení 4, podle kterého je kmitání zátěže 0,5 Hz. Frekvence je počet oscilací provedených za jednotku času. Označuje se jako ν („nu“). Jednotkou měření je 1/sekunda nebo sec–1 nebo hertz (1/s nebo s–1 nebo Hz). Frekvence se rovná převrácené hodnotě periody oscilace:

Výše jsme zjistili, že perioda je 2 s. Frekvence oscilací je tedy rovna:

Proto je tvrzení 5 pravdivé.

Zapisujeme odpověď: 25.

Zadání jednotné státní zkoušky-F-DV2023-3

Potenciální energie pružné pružiny při jejím natažení o 2 cm je rovna 2 J. Najděte modul změny potenciální energie této pružiny, když se její natažení zmenší o 0,5 cm. Uveďte odpověď v joulech.

Algoritmus řešení:

1. Zaznamenejte počáteční údaje. V případě potřeby převeďte měrné jednotky na SI.
2. Napište vzorec pro potenciální energii pružiny.
3. Použijte psaný vzorec na případy 1 a 2.
4. Převeďte vzorec a vyjádřete požadovanou hodnotu (modul změny potenciální energie natažené pružiny).
5. Nahraďte známá data a proveďte výpočty.

řešení:

Zapišme si počáteční údaje:

• Protažení pružiny v experimentu 1: x₁ = 2 cm.
• Potenciální energie pružiny při natažení o 2 cm: E_p1 = 2 J.
• Změna napětí pružiny ve druhém experimentu (ve srovnání s napětím v experimentu 1): ∆x = 0,5 cm.

Jednotkou délky v SI je metr. Proto převedeme centimetry na metry:

∆x = 0,5 cm = 0,5∙10 –2 m

Potenciální energie pružiny je určena vzorcem:

Aplikujme tento vzorec na případy 1 a 2:

Modul změny potenciální energie natažené pružiny se bude rovnat modulu rozdílu potenciálních energií v experimentech 2 a 1, v tomto pořadí:

Z tohoto vzorce zůstává neznámé pouze napětí pružiny v experimentu 2 a tuhost pružiny. Protažení pružiny v experimentu 2 lze vypočítat jako rozdíl mezi protažením pružiny v experimentu 1 a změnou v protažení:

Tuhost pružiny můžeme vyjádřit ze vzorce pro potenciální energii natažené pružiny pro experiment 1:

Dosaďte do výsledného vzorce:

Dosadíme známá data a provedeme výpočty:

Úkol E17590

Na obrázku je graf závislosti modulu pružné síly na prodloužení pružiny. Jaká je tuhost pružiny?

Algoritmus řešení