Kolik kombinací můžete vytvořit ze tří čísel?

Permutace je konečná množina, ve které je stanoveno pořadí prvků.

Vzorec pro počet permutací (Kolik způsobů lze přeskupit n objektů?)

Příklad 1. Dané:

Kolika způsoby existuje přeskupení bobulí?

řešení: P₃ = 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 (viz obrázek „Permutace“)

Odpověď: 6

Příklad 2. V týmu je 6 lidí. Kolika způsoby se mohou postavit do řady, aby pozdravili?

řešení: P₆ = 6! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 720 možností pozdravu

Odpověď: 720

Příklad 3. Existuje 10 různých knih, mezi nimiž je i třísvazkový soubor od jednoho autora. Kolika způsoby mohou být tyto knihy uspořádány na polici, pokud knihy třídílné série musí být umístěny pohromadě, ale v libovolném pořadí?

řešení: Protože knihy třídílné série musí stát vedle sebe, budeme to počítat jako 1 knihu. A protože v libovolném pořadí, mluvíme zde o permutacích.

P₈ ⋅P₃ = 8! ⋅ 3!= 241920 permutací knih.

Vzhledem k: množina sestávající z objektů, mezi nimiž jsou identické (nebo za takové považovány podle smyslu problému).

Vzorec pro počet permutací s opakováním (Počet způsobů, kterými lze přeskupit n objektů, mezi nimiž se 1. objekt opakuje n₁ krát, 2. objekt opakovaný n₂ časy, 3. objekt – n₃ krát,…, k-tý předmět – n_k krát, n = n₁ + ne₂ + . +n_k)

Pokud existují neopakující se objekty, jsou v tomto případě odpovídající hodnoty n rovné jedné.

Příklad 1. Alexey se věnuje sportu. 4x týdně – atletika, 2x týdně posilovací cvičení a jeden den volno. Kolika způsoby si může vytvořit svůj týdenní rozvrh?

řešení: Máme sadu. Máme množinu sedmiprvkové množiny 7!, ale nesmíme brát v úvahu permutace, ve kterých se zaměňují shodné prvky, takže musíme dělit 4! ⋅ 2!

Odpověď: 105

Příklad 2. Kolik slov můžete vytvořit přeskupením písmen ve slově „zkouška“, ve slově „matematika“ a ve slově „kolobok“?

řešení:

„Zkouška“ – 7 písmen (žádné opakování), takže R₇ = 7! = 5040

„Matematika“ – 10 písmen (m-2, a-3, t-2, e-1, i-1, k-1), permutace s opakováním P ₁₀ = 10! / (2! ⋅ 3! ⋅ 2! ⋅ 1! ⋅ 1! ⋅ 1!) = 151200

„Kolobok“ – 7 písmen (k-2, o-3, l-1, b-1), permutace s opakováním P ₇ = 7! / (2! ⋅ 3!) = 420

Odpověď: 5040; 151200; 420

Podmnožiny složené z n prvků dané množiny a obsahující k prvků v každé podmnožině se nazývají kombinace n prvků z k. (Kombinace se liší pouze svými prvky, jejich pořadí není důležité: ab a ba jsou stejná kombinace).

Vzorec pro počet kombinací (Kolik způsobů můžete vybrat k objektů z n?)

Příklad 1. Dané:

Kolika způsoby je možné vybrat dvě ze tří bobulí?

řešení: С₃ 2 = 3! /( 1! ⋅ 2!) = 3 (viz obrázek „Kombinace“)

Odpověď: 3

Příklad 2. Ve třídě je 7 lidí, kteří úspěšně dělají matematiku. Kolika způsoby můžete vybrat dva z nich pro účast v matematické olympiádě?

řešení: С₇ 2 = 7! /(2! ⋅ (7 – 2)!) = 7! /(2! ⋅ 5!) = (6 ⋅ 7)/2 = 21

Odpověď: 21

Příklad 3. Trénuje 12 basketbalistů. Kolik různých startovních pěti může trenér zorganizovat?

řešení: С ₁₂ 5 = 12! /(5! ⋅ (12 – 5)!) = 12! /(5! ⋅ 7!) = (12 ⋅ 11 ⋅ 10⋅ 9⋅ 8 ⋅ 7!)/(5! ⋅ 7!) = (12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8) /120 ⋅ = 11 9 = 8

Odpověď: 792

Příklad 4. Trenér vybere 5 chlapců z 10, aby byli v týmu Kolika způsoby může vytvořit tým, pokud v týmu mají být 2 konkrétní chlapci?

řešení: Protože Pokud jsou v týmu zařazeni dva chlapci, pak zbývá vybrat 3 z 8. U vzorku je důležité pouze složení (podle podmínky se všichni členové týmu v rolích neliší).

С ₈ 3 = 8! /(3! ⋅ (8 – 3)!) = 8! /(3! ⋅ 5!) = (8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5!)/(3! ⋅ 5!) = (8 ⋅ 7 ⋅ 6) / 6 = 56

Odpověď: 56.

Příklad 5. Šachového turnaje se zúčastnilo 15 šachistů a každý s každým odehrál pouze jednu partii. Kolik her se hrálo na tomto turnaji?

řešení: V jedné hře se účastní 2 lidé, proto je třeba spočítat, kolika způsoby můžete vybrat 2 osoby z 15, přičemž pořadí v těchto párech není důležité.

С ₁₅ 2 = 15! /(2! ⋅ (15 – 2)!) = 15! /(2! ⋅ 13!) = (15 ⋅ 14 ⋅ 13!)/(2! ⋅ 13!) = (15 ⋅ 14) / 2 = 105

Odpověď: 105.

Vzorec pro počet kombinací s opakováním (Kolikou způsoby můžete vybrat k objektů v množině skládající se z n prvků a prvky se vrátí zpět?)

Zde může vzorek obsahovat identické objekty, a pokud k > n, pak určitě budou shody. Ve výchozím nastavení se předpokládá, že původní populace obsahuje alespoň k objektů každého typu, a proto se vzorek může zcela skládat z identických objektů.

Příklad 1. Dané:

Kolika způsoby je možné vybrat, s opakováním, ze tří bobulí po dvou?

řešení: С_{3 (opakování)} 2 = C ₄ 2 = 4! /( 1! ⋅ 2!) = 6 (viz obrázek „Kombinace s opakováním“)

Odpověď: 6

Příklad 2. Peněženka obsahuje poměrně velké množství mincí v hodnotě 1 rubl, 2, 5 a 10 rublů. Kolika způsoby lze z peněženky odstranit tři mince?

řešení: Pomocí vzorce pro počet kombinací s opakováním dostaneme:

С _{4 (opakování)} 3 = C ₆ 3 = 6! /(3! ⋅ (4 – 1)!) = 6 ! /(3! ⋅ 3!) = (6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! )/ (3! ⋅ 3 !) = (6 ⋅ 5 ⋅ 4) / 6 = 20 způsobů, jak můžete vybrat 3 mince z peněženky.

Odpověď: 20.

Příklad 3: Pošta prodává 10 druhů pohlednic. Kolika způsoby si můžete koupit 12 pohlednic?

řešení: С _{10 (opakování)} 12 = C ₂₁ 12 = 21! /(12! ⋅ (21 – 12)!) = 21 ! /(12! ⋅ 9!) = (21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12! )/ (12! ⋅ 9 !) ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 )/ (15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 3 ⋅ 18 ) = 21 ⋅ 20 ⋅ 16 ⋅ 19

Odpověď: 293930.

Uspořádání n prvků podle k ( k ≤ n ) je jakákoliv množina skládající se z k prvků v určitém pořadí z daných n prvků.

Vzorec pro počet umístění (Kolik způsobů můžete vybrat k objektů z n a v každém vzorku je přeskupit nebo mezi ně rozdělit nějaké jedinečné atributy?)

Příklad 1. Dané:

Kolik umístění tří bobulí je ve dvou?

řešení: А₃ 2 = 3! / 1! = 6 (viz obrázek „Umístění“)

Odpověď: 6

Příklad 2. Kolik trojciferných čísel lze sestavit z čísel 2, 4, 6, 7, 9?

Řešení: A₅ 3 = 5! /(5 – 3)! = 5! /2! = 120/2 = 6

Odpověď: 60.

Příklad 3. 18 týmů se účastní hlavních ligových fotbalových soutěží. Bojuje se o zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili. Kolika způsoby mohou být medaile rozděleny mezi týmy?

řešení: А₁₈ 3 = 18! /(18 – 3)! = 18! /15! = 18 ⋅ 17 ⋅ 16 = 4896

Odpověď: 4896.

Příklad 4. Daniel vyrábí kódy z písmen slova DANIEL. Kód musí mít 10 písmen, nesmí začínat písmenem b a musí obsahovat všechny samohlásky právě jednou. Kolik různých kódů může Daniel vytvořit?

řešení: 1) Nejprve najdeme všechny možné varianty takových slov, aniž bychom omezovali a považovali měkké znaménko za souhlásku:

Pojďme zjistit počet umístění samohlásek na 10 pozicích: А₁₀ 3 = 10! /(10 – 3)! = 10! /7! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720

Vynásobme umístění samohlásek zbývajícími možnostmi pro sedm pozic souhlásek: А₁₀ 3 ⋅ 4 7 = 11 796 480

2) Ze všech možností odečtěte slova začínající na b:

Samohlásky v tomto případě budou umístěny na 3 z 9 pozic: А₉ 3 = 9! /(9 – 3)! = 9! /6! = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504

Vynásobme umístění samohlásek zbývajícími možnostmi pro šest pozic čtyř souhlásek: А₉ 3 ⋅ 4 6 = 2 064 384

3) Od 1) Odečtěte slova nalezená v odstavci 2):

11 796 480 – 2 064 384 = 9 732 096

Odpověď: 9 732 096

Příklad 5 . Nikolay tvoří kódy z písmen slova NICHOLAY. Kód musí mít 11 písmen, nesmí začínat písmenem Y a musí obsahovat všechny samohlásky právě jednou. Kolik různých kódů dokáže Nikolai vytvořit?

řešení: 1) Nejprve najdeme všechny možné varianty takových slov, bez omezení a počítání Y:

Pojďme zjistit počet umístění samohlásek na 11 pozicích: А₁₁ 3 = 11! /(11 – 3)! = 11! /8! = 11 ⋅ 10 ⋅ 9 = 990

Vynásobme umístění samohlásek zbývajícími možnostmi pro osm pozic čtyř souhlásek: А₁₁ 3 ⋅ 4 8 = 990 ⋅ 65 536 = 64 880 640

2) Ze všech možností odečtěte slova začínající na Y:

Samohlásky v tomto případě budou umístěny na 3 z 10 pozic: А₁₀ 3 = 10! /(10 – 3)! = 10! /7! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720

Vynásobme umístění samohlásek zbývajícími možnostmi pro sedm pozic čtyř souhlásek: А₁₀ 3 ⋅ 4 7 = 720 ⋅ 16 384 = 11 796 480

3) Od 1) Odečtěte slova nalezená v odstavci 2):

64 880 640 – 11 796 480 = 53 084 160

Odpověď: 53 084 160

Vzhledem k množině skládající se z n objektů lze opakovaně vybrat libovolný objekt. Kolika způsoby lze vybrat k objektů, pokud je důležité pořadí jejich uspořádání ve vzorku? Zejména je možné, že z n dostupných objektů bude jeden objekt vybrán kkrát.

Vzorec pro počet umístění s opakováním (Kolik způsobů lze vybrat k objektů, pokud je důležité pořadí jejich uspořádání ve vzorku?)

Příklad 1. Dané:

Kolika způsoby je možné uspořádat opakování tří bobulí po dvou?

řešení: А_{3 (opakování)} 2 = 3 2 = 9

Odpověď: 9

Příklad 2. Podle státní normy se poznávací značka automobilu skládá ze 3 číslic a 3 písmen. V tomto případě je nepřijatelné číslo se třemi nulami a písmena se vybírají z množiny A, B, E, K, M, N, O, R, S, T, U, X (používají se pouze ta písmena azbuky jehož pravopis se shoduje s latinskými písmeny) . Kolik různých SPZ lze vytvořit pro region?

řešení:

А_{10 (opakování)} 3 = 10 3 = 1000 – způsoby můžete vytvořit digitální kombinaci čísla vozu, přičemž jeden z nich (000) by měl být vyloučen А_{10 (opakování)} 3 – 1 = 999

А_{12 (opakování)} 3 = 12 3 = 1728 – pomocí těchto metod můžete vytvořit kombinaci písmen čísla vozu.

Podle pravidla násobení kombinací lze součet vytvořit: А_{10 (opakování)} 3 ⋅ А_{12 (opakování)} 3 = 999 ⋅ 1728 = 1 726 272 SPZ pro region.

Odpověď: 1 726 272.

Příklad 3. Osoba, která přišla na návštěvu, zapomněla kód, který otevírá vstupní dveře, ale zapamatovala si, že se skládal z nul a jedniček a měl celkem čtyři číslice. V nejhorším případě, kolik variant kódu bude muset zkusit otevřít dveře?

řešení: А_2(opakovat) 4 = 2 4 = 16

Odpověď: 16.

Příklad 4. Která čísla od 1 do 1 000 000 jsou větší: ta, ve kterých se jednotka vyskytuje, nebo ta, ve kterých se nevyskytuje?

řešení: Spočítejme počet čísel od 1 do 999999, jejichž zápis neobsahuje jedničky. Každou číslici lze vybrat 9 způsoby (libovolnou číslici kromě 1), takže všech 6 číslic lze vybrat 96 způsoby. V tomto případě musí být jedna možnost (000000) odstraněna, protože číslo 0 se nebere v úvahu. Dostaneme celkem 9 6 − 1 = 531 440 čísel. Vzhledem k tomu, že čísel je celkem 1 000 000, je zřejmé, že mezi čísly od 1 do 1 000 000 je více čísel bez jednotky než těch s jednotkou v zápisu.

Odpověď: čísel bez jednotky je více.

Dobrý den!
Kolik kombinací M-cifer lze vytvořit z N číslic, aby se při seřazení kombinace neopakovaly.
Například: můžete vytvořit 3 3místných čísel ze 27 číslic, ale pouze 10, která se neopakují v seřazeném pořadí:
111
112
113
122
123
133
222
223
233
333
Jak vypočítat pro libovolné M a N?

94731 / 64177 / 26122
Registrace: 12.04.2006
Příspěvky: 116,782
Odpovědi s hotovými řešeními:

Kolik kombinací dokážete vytvořit?
Bohužel, studoval jsem ve škole dlouho a nedokážu vyřešit problém, který bych ve škole určitě zvládl. Úkol není.

Kolik kombinací těchto 3 kostek dokážete vytvořit?
Ahoj. Problém je v tomhle. Jsou tam 3 kostky. Každá má 6 stran Kolik z těchto 3 kostek je?

Kolik kombinací 4 lidí lze vytvořit ze 2 daných skupin?
Prosím, řekněte mi, jak tento problém vyřešit. V první skupině je 14 lidí, z toho 7.

Kolik kombinací lze vytvořit z 5 čísel se stejnými číslicemi na místě jedniček?
Kolik kombinací lze vytvořit z 5 čísel, pokud kombinace musí obsahovat alespoň.

6358 / 4065 / 1512
Registrace: 09.10.2009
Příspěvky: 7,550
Příspěvky na blogu: 4

Schéma koulí a uren. Je N urn, M kuliček Pokud koule přistane v i-té urně, znamená to číslo i v čísle. Několik kuliček v této urně znamená několik po sobě jdoucích číslic iii v čísle. Urny mohou být prázdné (některá čísla nemusí být v kombinaci číslic čísla). Například číslo 223 se v takovém schématu zapíše jako |00|0 (žádné jedničky = první urna je prázdná, dvě dvojky = dvě koule v druhé urně, jedna tři = jedna koule ve třetí urně).
A to je známý problém s odpovědí

Registrace: 25.08.2016
Příspěvky: 44

Děkujeme!
Co ale dělat, když na některých pozicích v kombinacích může být libovolný rozsah čísel, například na první pozici – 1-3, na druhé 1-2 a na třetí 1-2. Počítáním jsem dostal 7 z 12:
111
112
212
222
311
312
322
A co používání vzorců?

6358 / 4065 / 1512
Registrace: 09.10.2009
Příspěvky: 7,550
Příspěvky na blogu: 4

Zpráva od teatralaik

A co používání vzorců?

Zatím ne, protože v příspěvku č. 3 jste tyto rozsahy neuvedli ve formě dopisu. A když nejsou písmena, nejsou ani vzorce.

Zpráva od teatralaik

Nebo možná 122 na tomto místě?

Přidáno po 1 hodině 13 minutách
V podstatě musíte vědět, kolik míst může každá číslice zajít. Ve vašem příkladu je „1“ na 3 místech, „2“ je na 3 místech a „3“ je na jednom místě (nezáleží na tom, které).
Jednou jsem udělal následující problém (přeložený do urnových koulí): kolik je tam celočíselných vektorů, pokud použijete svůj zápis M a N. Ale zde je omezení pro všechna xi stejné = m, ale vaše je jiné.
Pokud je omezení stejné jako odpověď. A pokud budou omezení jiná, tak vzorec bude vícepatrový a nejde to sem napsat. Místo odečítání výrazu j(m+1) ve druhém C dojde k odčítání součtu j závorek tvaru – pro j=0 se nic neodečítá, pro j=1 místo faktoru bude součet N různých C, kde každé bude mít odečtenou vlastní závorku, pro j= 2 bude místo násobitele pro druhé C součet těchto druhých C, v jehož spodním indexu jsou 2 závorky formulář bude odečten atd., dokud v druhém C není spodní index menší než horní index. Asi je to matoucí. Ve vašem případě výpočty dávají toto:
pro j=0, tedy odpověď na původní problém.
když j=1 existují členy . První a druhý termín neexistují, třetí je rovnocenný
pro j=2 a více všechny členy neexistují: pokud se pokusíte odečíst dvojice závorek tvaru od součtu M+N-1=5, tedy buď -4-4, nebo -4-2, nebo -4-2, pak dolní index. součinitel bude menší než vrchol, což je nemožné.
Takže 10-3=7, to je vaše odpověď.

87844 / 49110 / 22898
Registrace: 17.06.2006
Příspěvky: 92,604
Pomáhám zde se studentskými pracemi

Kolik sudých čtyřciferných čísel lze vytvořit z číslic 1, 2, 3, 4 bez opakování číslic v čísle
Kolik sudých čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, aniž by se číslice v čísle opakovaly?

Kolik kombinací lze vytvořit z písmen slova „karikatura“?
2. Kolik kombinací lze vytvořit z písmen slova „karikatura“, pokud by samohlásky neměly jít.

Kolik šestimístných čísel lze sestavit z číslic?
Kolik šesticiferných čísel, u kterých je součin číslic sudý, lze z číslic sestavit? Čísla.

Kolik pěticiferných čísel lze vytvořit z čísel: 1, 2, 3, 5, 7, 8
Úloha 2. Kolik pěticiferných čísel lze vytvořit z čísel: 1, 2, 3, 5, 7, 8 a) Každé je možné.

Kolik čtyřciferných čísel lze vytvořit z čísel 0, 1, 2, 3, 4, 5
Kolik čtyřmístných čísel lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, pokud: 1) není jedna číslice.

Nebo použijte vyhledávání na fóru: