Jak vypočítat ohybový moment nosníku?
Ploché příčné ohýbání rovných prutů (nosníků, trámů). Stanovení vnitřních sil (příčných sil a ohybových momentů) v libovolném průřezu tyče a konstrukce jejich diagramů. Diferenciální vztahy mezi zatížením, smykovými silami, ohybovými momenty, jejich využití při konstrukci diagramů a sledování správnosti konstrukce.
Plochý ohyb. Plochým příčným ohybem rozumíme takový typ deformace, při kterém se ohýbá osa přímého nosníku a v průřezu nosníku působí dva silové faktory: ohybový moment M a příčná síla Q. Osou nosníku je geometrická umístění bodů těžišť příčných řezů nosníku. Ohyb je plochý, pokud osa nosníku po deformaci zůstane rovnou čárou. V opačném případě dojde k šikmému ohybu. Pokud nevznikne žádná smyková síla, ohyb se nazývá čistý ohyb.
Uvažujme např. nosník zatížený svislou soustředěnou silou P. Pro určení vnitřních sil při přímém ohybu, které vznikají v průřezu umístěném ve vzdálenosti z od místa působení zatížení, použijeme metodu sekcí.
Rýže. 22. Plochý ohyb:
a – nosník pod zatížením P; b – vnitřní síly při ohybu
Rozřežme mentálně trám v místě zájmu na dvě části Zahodíme levou část trámu, zatíženou silou P. Působení vyřazené levé části trámu nahradíme levou pravou částí vnitřními silami.
Vnitřní síly vznikají ve všech bodech průřezu nosníku a jsou rozloženy podle neznámého zákona. Protože nemůžeme tyto vnitřní síly určit pro každý bod průřezu, nahradíme je staticky ekvivalentními součiniteli vnitřní síly aplikovanými v těžišti průřezu.
Součinitele vnitřní síly se určují z podmínek rovnováhy uvažované části nosníku. Vnitřní silové faktory však můžeme najít i přímo, jako působení vyřazené levé strany na stranu pravou. Je vidět, že část nosníku zatížená silou P má tendenci ohýbat pravou část, kterou uvažujeme, konvexně dolů a také se snaží smyk. Následně musí v řezu vzniknout smyková síla a ohybový moment.
Proveďme paralelní přenos síly P na těžiště průřezu nosníku. Podle pravidel teoretické mechaniky se sčítá moment rovný Pz.
V průřezu nosníku tak vznikají dva faktory vnitřní síly:
– ohybový moment, číselně rovný algebraickému součtu momentů všech sil působících na vyřazenou část nosníku, vzhledem k hlavní středové ose procházející těžištěm uvažovaného úseku (v tomto příkladu M = Pz );
– příčná síla, číselně rovna algebraickému součtu všech vnějších sil (aktivních i reaktivních) působících na vrženou část nosníku (v našem příkladu Q = P).
Konstrukce diagramů příčných sil a ohybových momentů. Při výpočtu nosníků na pevnost je nutné znát charakter změny ohybového momentu a smykové síly podél osy nosníku a znát polohu nebezpečného úseku. Za tímto účelem jsou sestrojeny diagramy příčných sil a ohybových momentů.
Pokud má vnější síla tendenci otáčet odříznutou část ve směru hodinových ručiček vzhledem k uvažovanému úseku, pak je příčná síla kladná.
Rýže. 23. Pravidlo znamení pro vnitřní úsilí:
a – pro smykovou sílu; b – pro ohybový moment
Ohybový moment bude kladný, pokud je nosník působením momentu vnějších sil ohnut konvexností směrem dolů.
Konstrukce diagramů příčných sil a ohybových momentů budeme uvažovat na konkrétním příkladu.
Nechť na nosník působí vnější ohybový moment m = 6 kN•m a vnější síla F = 12 kN, l = 1 m Určíme reakce v podporách A a B. Vytvořme rovnice rovnováhy pro momenty všech vnějších sil vzhledem k podporám A a B
Rýže. 24. Q diagramyy, Mx
Nakreslete řezy v každém charakteristickém řezu a určete hodnoty příčné síly Qy a ohybového momentu Mx.
Pomocí získaných hodnot sestrojíme diagramy příčných sil a ohybových momentů (obr. 24).
Diferenciální závislosti při ohýbání.
Vyberme malý prvek dz v řezu nosníku s libovolným zatížením v místě, kde nejsou soustředěné síly a momenty. Protože je celý nosník v rovnováze, bude v rovnováze i prvek dz při působení smykových sil, ohybových momentů a vnějšího zatížení, které na něj působí. Protože se Qy a Mx obecně mění podél osy nosníku, objeví se v řezech prvku dz příčné síly Qy a Qy + dQy a také ohybové momenty M.x a Mx + dMx.
Z podmínky rovnováhy vybraného prvku získáme:
První ze dvou napsaných rovnic dává podmínku
Z druhé rovnice, zanedbávání členu jako nekonečně malé veličiny druhého řádu, zjistíme
Vzhledem k získaným výrazům můžeme společně získat
Výsledné vztahy se nazývají diferenciální závislosti D.I. Zhuravsky při ohýbání.
Rýže. 25. Vnitřní síly v nosníku při ohybu
Analýza diferenciálních závislostí při ohybu nám umožňuje stanovit některá pravidla pro konstrukci diagramů ohybových momentů a příčných sil:
– v oblastech, kde není rozložené zatížení q, jsou diagramy Q omezeny na přímky rovnoběžné se základnou a diagramy M jsou omezeny na nakloněné přímky;
– v oblastech, kde na nosník působí rozložené zatížení q, jsou Q diagramy omezeny nakloněnými přímkami a M diagramy jsou omezeny kvadratickými parabolami;
– v úsecích, kde na nosník působí soustředěná síla, na diagramu Q budou skoky o velikosti a ve směru této síly a na diagramu M budou zalomení, hrot směřuje ve směru působení této síly;
– v řezech, kde na nosník působí soustředěný moment, nedojde k žádným změnám na diagramu Q a na diagramu M dojde ke skoku ve velikosti momentu;
– v úseku, kde působí soustředěná vnější síla, diagram ohybových momentů prudce změní úhel sklonu sousedních úseků diagramu (zalomení diagramu). Ohyb v diagramu směřuje k vektoru síly;
– soustředěná (nebo rozložená) dvojice sil neovlivňuje zákon změny příčných sil v ploše a na Q diagramu se to nijak neprojevuje;
– v řezu, kde působí dvojice sil, se v diagramu ohybových momentů provede skok o hodnotu této dvojice a její znaménko;
– v oblasti, kde působí rovnoměrně rozložené zatížení q, má diagram příčných sil tvar přímé šikmé čáry s úhlovým součinitelem q;
Rýže. 26. V řezu, ve kterém působí na nosník soustředěná vnější síla, kolmá k ose nosníku, je v diagramu příčných sil Q skok.
velikostí této síly a jejím znaménkem
– v oblasti, kde působí rovnoměrně rozložené zatížení, je diagram ohybových momentů omezen parabolickou křivkou;
– v úseku, kde působí soustředěná síla, diagram ohybových momentů prudce změní úhel sklonu sousedních úseků diagramu (zalomení diagramu). Ohyb v diagramu směřuje k vektoru síly;
– v oblasti, kde je smyková síla nulová, je pozorována čistá rovinná ohybová deformace, ve které je ohybový moment konstantní hodnotou.
Rýže. 27. Příklad působení dvojice sil