Jak zjistit délku oblouku kružnice se znalostí poloměru a změřit?
V této publikaci se podíváme na vzorce, které lze použít k výpočtu délky oblouku výseče kruhu, a také rozebereme příklady řešení úloh, abychom demonstrovali jejich aplikaci v praxi.
Obsah skrýt
- Definice oblouku výseče kruhu
- Vzorce pro zjištění délky oblouku sektoru
- Prostřednictvím středového úhlu ve stupních a poloměru
- Prostřednictvím sektorového úhlu v radiánech a poloměru
Definice oblouku výseče kruhu
Oblouk je plocha mezi dvěma body na kružnici.
Obloukový sektor kruhu – jedná se o oblast mezi dvěma body na kružnici, které se získají jako výsledek průsečíku této kružnice se dvěma poloměry, které tvořily sektor kružnice.
Na obrázku níže: AB je oblouk zeleného sektoru kruhu s poloměrem R (nebo r).
- OA = OB = R (r);
- α – sektorový úhel nebo středový úhel.
Vzorce pro zjištění délky oblouku sektoru
Prostřednictvím středového úhlu ve stupních a poloměru
Délka (L) oblouk sektoru se rovná číslu π , vynásobené poloměrem kruhu (r), vynásobený středovým úhlem ve stupních ( α °), děleno 180°.
Poznámka: číslo používané ve výpočtech π , přibližně rovné 3,14.
Prostřednictvím sektorového úhlu v radiánech a poloměru
Délka (L) sektorového oblouku se rovná součinu poloměru (r) a středový úhel vyjádřený v radiánech (arád).
Příklady úkolů
1 úloha
Je dána kružnice o poloměru 15 cm. Najděte délku oblouku sektoru, jehož úhel je 30°.rozhodnutí
Použijme výpočetní vzorec, který používá středový úhel ve stupních:
2 úloha
Délka oblouku sektoru je 24 cm Zjistěte, jaký je jeho úhel (v radiánech a stupních), je-li poloměr kruhu 12 cm.rozhodnutí
Nejprve vypočítejme úhel v radiánech:
1 radián ≈ 57,2958°
Proto je středový úhel přibližně 114,59° (2 rad ⋅ 57,2958°).
Publikace k tématu:
- Nalezení plochy čtverce: vzorec a příklady
- Nalezení oblasti obdélníku: vzorec a příklad
- Nalezení oblasti lichoběžníku: vzorec a příklady
- Nalezení oblasti rovnoběžníku: vzorec a příklady
- Nalezení oblasti elipsy: vzorec a příklad
- Nalezení oblasti konvexního čtyřúhelníku: vzorec a příklad
- Hledání obvodu kosočtverce: vzorec a úlohy
- Nalezení obvodu lichoběžníku: vzorec a problémy
- Hledání obvodu rovnoběžníku: vzorec a úlohy
- Hledání obvodu kruhu: vzorec a úlohy
- Pythagorova věta pro pravoúhlý trojúhelník: vzorec a úlohy
- Goniometrické funkce ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku
- Nalezení objemu kužele: vzorec a problémy
- Zjištění objemu míče: vzorec a problémy
- Nalezení objemu pyramidy: vzorec a úlohy
- Nalezení oblasti pravidelného šestiúhelníku: vzorec a příklady
- Zjištění objemu čtyřstěnu: vzorec a úlohy
- Nalezení objemu hranolu: vzorec a úlohy
- Nalezení plochy povrchu krychle: vzorec a problémy
- Nalezení povrchové plochy válce: vzorec a problémy
- Nalezení povrchové plochy kužele: vzorec a problémy
- Nalezení povrchu koule (koule): vzorec a problémy
- Zjištění poloměru koule: vzorec a příklady
- Zjištění poloměru kružnice: vzorec a příklady
- Zjištění poloměru válce: vzorec a příklady
- Nalezení oblasti pravidelného hranolu: vzorec a problémy
- Nalezení oblasti pravidelné pyramidy: vzorce
- Menelaova věta: formulace a příklad s řešením
- Věta o vnějším úhlu trojúhelníku: formulace a problémy
- Cevův teorém: formulace a příklad s řešením
- Stewartova věta: formulace a příklad s řešením
- Geometrický tvar: trojúhelník
- Značky rovnosti trojúhelníků
- Znaky podobnosti trojúhelníků
- Vlastnosti rovnostranného trojúhelníku: teorie a příklad
- Definice a vlastnosti mediánu trojúhelníku
- Definice a vlastnosti mediánu pravoúhlého trojúhelníku
- Definice a vlastnosti osy úhlu trojúhelníku
- Vlastnosti osy rovnoramenného trojúhelníku
- Vlastnosti osy pravoúhlého trojúhelníku
- Vlastnosti osy rovnostranného trojúhelníku
- Vlastnosti výšky rovnoramenného trojúhelníku
- Vlastnosti výšky pravoúhlého trojúhelníku
- Vlastnosti výšky rovnostranného trojúhelníku
- Zjištění poloměru kružnice opsané trojúhelníku
- Zjištění poloměru kružnice vepsané do trojúhelníku
- Zjištění poloměru kružnice vepsané do kosočtverce
- Co je to kruh: definice, vlastnosti, vzorce
- Co je to kruh: definice, vlastnosti, vzorce
- Co je obdélník: definice, vlastnosti, vlastnosti, vzorce
V této lekci odvodíme vzorec, který vyjadřuje obvod kruhu pomocí jeho poloměru. Odvoďme vzorec pro výpočet délky l oblouku kružnice se stupňovou mírou ?. Nabyté znalosti si upevníme i v praktické části lekce.
Přehrávač: YouTube VKontakte
V tuto chvíli nemůžete sledovat ani distribuovat videolekci studentům
Chcete-li získat přístup k tomuto a dalším výukovým videím sady, musíte ji přidat do svého účtu.
Získejte neuvěřitelné příležitosti
1. Otevřete přístup ke všem videolekcím v sadě.
2. Distribuujte video lekce na osobní účty studentů.
3. Podívejte se na statistiky toho, jak studenti prohlížejí videolekce.
Získat přístupShrnutí lekce “Obvod”
V této lekci si odvodíme vzorec, který vyjadřuje obvod kruhu pomocí jeho poloměru; a také odvodit vzorec pro výpočet délky l kruhového oblouku se stupňovou mírou α.
Udělejme malý experiment. Vezměte minci, položte ji na čistý list papíru a nakreslete tužku podél jejího obrysu. Podívejte, na listu zůstala značka. Co je to za řádek? Jistě! Je to kruh!
Dovolte mi připomenout, že těžiště bodů, které jsou v dané vzdálenosti od daného bodu, je kružnice se středem v daném bodě a poloměrem rovným danému segmentu. Segment spojující střed kružnice s libovolným bodem kružnice se nazývá poloměr. Tětiva procházející středem kruhu se nazývá jeho průměr. Pomocí pravítka můžete změřit průměr nebo poloměr této kružnice. Je ale možné změřit délku samotného kruhu? Koneckonců, nemůžete na to použít pravítko. Chcete-li získat vizuální představu o obvodu, představte si, že jsme vzali tenkou, neroztažnou nit a omotali ji kolem mince. Pokud odříznete nit v určitém bodě A a narovnáte ji, získáte segment AA1, jehož délka je obvod.
Obvod každého pravidelného mnohoúhelníku vepsaného do kruhu je přibližná hodnota obvodu. Ostatně už víme, že s přibývajícím počtem stran „dosedá“ mnohoúhelník stále blíže ke kružnici, tzn. Čím větší je počet stran takového mnohoúhelníku, tím přesnější je tato aproximace.
Odvoďme vzorec, který vyjadřuje obvod kružnice z hlediska jejího poloměru
Nechť existují dvě kružnice s poloměry R resp. C a jsou délky těchto kružnic. Do každého z nich vepišme pravidelné n-úhelníky. An a strany těchto polygonů, Pn a podle toho i jejich obvody. Nyní pomocí vzorce najdeme stranu pravidelného n-úhelníku přes poloměr kružnice opsané. Pak můžeme napsat, že obvod je . Nebo podle vzorce se rovná . Proto, .
To znamená, že platí rovnost: .
Tato rovnost platí pro jakoukoli hodnotu n. Nyní zvýšíme číslo n bez omezení.
To znamená, že poměr obvodu kruhu k jeho průměru je pro všechny kruhy stejné číslo.
Číslo rovnající se poměru obvodu kruhu k jeho průměru se obvykle označuje následujícím řeckým písmenem (čti „pí“), prvním písmenem starověkého řeckého slova „perimetron“ je kruh.
Bylo prokázáno, že pí je nekonečný neperiodický desetinný zlomek, tzn. iracionální číslo.
Tuto přibližnou hodnotu nalezl již ve třetím století před naším letopočtem velký řecký vědec Archimedes. Podle počtu písmen ve slovech fráze “Vím to a pamatuji si to dokonale, ale mnohá čísla jsou pro mě zbytečná, marná” můžete reprodukovat prvních 12 číslic pí. Při řešení problémů obvykle používají přibližnou hodnotu pí s přesností na setiny:
Abychom našli vzorec pro obvod kruhu, použijeme rovnost. Z toho vyplývá, že obvod kružnice o poloměru R zjistíme vzorcem: nebo vzorcem, kde D je průměr kružnice.
Odvoďme vzorec pro výpočet délky kruhového oblouku, jehož míra stupně je rovna .
Délka oblouku se rovná .
Délka kruhového oblouku je vyjádřena vzorcem:
Výzva. Délka kružnice je cm Najděte poloměr této kružnice.
Již víme, že obvod kruhu se vypočítá podle vzorce
. Podle podmínek problému, e. Zrovnejme pravé strany rovnosti. Zjistíme, že dvě pi ER se rovná 36 pi. Proto je poloměr .Výzva. Najděte obvod pravidelného šestiúhelníku vepsaného do kruhu, je-li oblouk podehnutý jeho stranou roven cm.
Nechť je pravidelný šestiúhelník.
Protože , pak je rovnostranný.
Pojďme si lekci shrnout. Dnes jsme ve třídě vyvinuli vzorec pro výpočet obvodu kruhu přes jeho poloměr. Ukázali, že poměr obvodu kruhu k jeho průměru je u všech kruhů stejné číslo. Dozvěděli jsme se, že číslo rovné poměru obvodu kruhu k jeho průměru označujeme řeckým písmenem π. Odvodili také vzorec pro výpočet délky l oblouky kružnice se stupněm α.
