Co je výkon RMS?

V matematice a jejích aplikacích je odmocnina (RMS nebo rms) definována jako druhá odmocnina středního čtverce (aritmetický průměr druhých mocnin množiny čísel). Střední kvadratická hodnota je také známá jako odmocnina a je speciálním případem zobecněného průměru s exponentem 2. Střední kvadratická hodnota může být také definována pro plynule se měnící funkci jako integrál druhých mocnin okamžité hodnoty za cyklus.

Pro střídavý elektrický proud se efektivní hodnota rovná stejnosměrné hodnotě, která by vedla ke stejnému průměrnému ztrátovému výkonu v odporové zátěži.

V teorii odhadu je směrodatná odchylka odhadu mírou nedokonalosti přizpůsobení odhadu datům.

Definice 1

2 Společné průběhy

2.1 Kombinace signálů

3.1 V elektrotechnice

3.1.1 Napětí
3.1.2 Průměrný elektrický výkon

Definice

Střední kvadratická hodnota sady hodnot (nebo spojitého časového signálu) je druhá odmocnina aritmetického průměru druhých mocnin hodnot nebo druhé mocniny funkce, která definuje spojitý průběh. Ve fyzice lze RMS proud také definovat jako „hodnotu stejnosměrného proudu, který rozptýlí stejný výkon v rezistoru“.

V případě sady n hodnot, x_, teček, x_ >>, je RMS

x RMS = 1 n (x 1 + x 2 2 + ⋯ + xn 2). > = > vlevo (x_ ^ + x_ ^ + cdots + x_ ^ vpravo)>>.>

Odpovídající vzorec pro spojitou funkci (nebo průběh) f (t) definovaný v intervalu T 1 ≤ t ≤ T 2 leq t leq T_ > je

a střední kvadratická hodnota funkce za celou dobu je

Střední kvadratická hodnota za celou dobu periodické funkce se rovná střední kvadratické hodnotě jedné periody funkce. Střední kvadratická hodnota spojité funkce nebo signálu může být aproximována odebráním střední kvadratické hodnoty vzorku sestávajícího z ekvidistantních pozorování. Kromě toho lze efektivní hodnotu různých průběhů určit také bez výpočtu, jak ukazuje Cartwright.

V případě střední kvadratické statistiky náhodného procesu se místo průměru použije očekávaná hodnota.

Běžné průběhy

Sinusové, čtvercové, trojúhelníkové a pilové průběhy. Obdélníková pulzní vlna pracovního cyklu D – poměr trvání pulzu (τ) k periodě (T); zde zobrazeno s a = 1. Graf napětí sinusové vlny v závislosti na čase (ve stupních), zobrazující střední kvadraturu, vrchol (PK) a napětí mezi vrcholy (PP).

Pokud je průběhem čistá sinusovka, vztah mezi amplitudami (peak-to-peak, peak) a efektivní hodnotou je pevný a známý, stejně jako u jakékoli nepřetržité periodické vlny. To však neplatí pro libovolný průběh, který nemůže být periodický nebo spojitý. Pro sinusovou vlnu s nulovým průměrem je vztah mezi efektivní hodnotou a amplitudou od vrcholu k vrcholu:

výkyv = 2 2 × RMS ≈ 2,8 × RMS. > krát > přibližně 2,8 krát >.>

Pro ostatní signály nejsou vztahy stejné, jako jsou určeny pro sinusovky. Například pro trojúhelníkovou nebo pilovou vlnu

výkyv = 2 3 × RMS ≈ 3,5 × RMS. > krát > přibližně 3,5 krát >.>

Průběh	Proměnné a operátory	RMS
DC	y = Ao>	A 0,>
sinusoida	y = A 1 sin ⁡ (2 π ft) sin (2 pi ft) ,>	A 1 2 >>>
Čtvercová vlna	y = A_ jméno operátora (ft) 0,5 konec >>	A 1
Stejnosměrná obdélníková vlna	y = A 0 + >	A 0 2 + A 1 2 ^ + A_ ^ >> ,>
Upravená sinusovka	y = >	A 1 2 > < sqrt >>>
Trojúhelníková vlna	y = \| 2 A 1 hydraulické štěpení ⁡ (ft) – A 1 \|	A 1 3 >
pilová vlna	y = 2 A 1 frac ⁡ (ft) – A 1	A 1 3 >
Pulzní vlna	y = A_ jméno operátora (ft) D konec >>	A 1 D < styl zobrazení A_ >>
Sdružené napětí	y = A 1 sin ⁡ (t) — A 1 sin ⁡ (t — 2 π 3) sin (t) -A_ sin vlevo (t — > vpravo) ,>	A 1 3 2 >>
kde: y – posun, t – čas, f – frekvence, Ai – amplituda (špičková hodnota), D – pracovní cyklus nebo část časového období (1 / f) strávená na vysoké úrovni, frac (r) je zlomek část r.

V kombinacích signálů

Průběhy vytvořené sečtením známých jednoduchých signálů mají efektivní hodnotu, která je odmocninou ze součtu druhých mocnin efektivních hodnot složky, pokud jsou průběhy složek ortogonální (to znamená, pokud je průměr součinu jednoho jednoduchého signálu s druhým je nula pro všechny páry kromě signálu).

Alternativně se u signálů, které jsou zcela pozitivně korelované nebo vzájemně „ve fázi“, jejich efektivní hodnoty sečtou přímo.

Použití

V elektrotechnice

Stres

Speciálním případem střední kvadratické hodnoty kombinací signálů je:

kde RMS DC > _ >> se týká stejnosměrné nebo průměrné složky signálu a RMS AC > _ >> je střídavá složka signálu.

Průměrný elektrický výkon

Elektrotechnici často potřebují znát výkon P rozptýlený v elektrickém odporu R. Je snadné provést výpočet, když odporem prochází konstantní proud I. Pro zátěž R Ohm je výkon jednoduše definován jako:

Pokud je však proud časově proměnnou funkcí I(t), je třeba tento vzorec rozšířit, aby odrážel skutečnost, že proud (a tedy okamžitý výkon) se mění s časem. Pokud je funkce periodická (např. domácí střídavý proud), stále má smysl diskutovat o průměrném ztrátovém výkonu v průběhu času, který se vypočítá jako průměrný ztrátový výkon:

P av = (I (t) 2 R) av, kde (⋯) av označuje časový průměr funkce = (I (t) 2) av R (protože R se s časem nemění, lze jej odečíst) = I RMS 2 R podle definice odmocniny – čtverec P_ = vlevo (I (t) ^ R vpravo) _ > vlevo ( cdots vpravo) _ > [3pt] = vlevo (I (t) ^vpravo) _ R > R > [3pt] = I _ > ^ R > konec >>

Takže střední kvadratická hodnota, I RMS, funkce I(t) je stejnosměrný proud, který produkuje stejný ztrátový výkon jako časově průměrný ztrátový výkon proudu I(t).

Průměrný výkon lze také zjistit pomocí stejné metody jako v případě časově proměnlivého napětí V(t) s hodnotou střední kvadratické hodnoty V RMS,

Tuto rovnici lze použít pro jakýkoli periodický signál, jako je sinusová nebo rampová vlna, k výpočtu průměrného výkonu dodávaného do dané zátěže.

Když vezmeme druhou odmocninu obou těchto rovnic a vynásobíme je, získáme mocninu:

Obě hodnoty závisí na úměrnosti napětí a proudu (tj. zátěž R je čistě odporová). Reaktivní zátěže (tj. zátěže, které dokážou energii akumulovat i rozptýlit) jsou diskutovány v části AC napájení.

Obecně platí, že když je střídavý proud I(t) sinusový proud, což přibližně platí pro síťové napájení, lze efektivní hodnotu snadno vypočítat z rovnice pro spojitý případ výše. Pokud je I p definován jako špičkový proud, pak:

I RMS = 1 T 2 — T 1 ∫ T 1 T 2 [I p sin ⁡ (ω t)] 2 dt, < styl zobrazení I _ >= -T_ >> int _ ^ > vlevo [ I _ > sin ( omega t) vpravo] ^ dt>>,>

kde t je čas a ω je úhlová frekvence (ω = 2π / T, kde T je perioda vlny).

Protože I p je kladná konstanta:

Použití trigonometrické identity, abyste se vyhnuli kvadraturu spouštěcí funkce:

, ale protože interval je celočíselný počet úplných cyklů (jak je definováno RMS), sin termín bude zrušen a zůstane:

I RMS = I p 1 T 2 – T 1 [t 2] T 1 T 2 = I p 1 T 2 – T 1 T 2 – T 1 2 = I p 2. > = I _ > -T_ >> vlevo [ právo]_ ^ >>> = I _ > -T_ >> přes 2>>> = přes >>.>

Podobná analýza vede k podobné rovnici pro sinusové napětí:

kde IP představuje špičkový proud a VP představuje špičkové napětí.

Kvůli jejich užitečnosti při výpočtech napájení jsou uvedená napětí pro elektrické zásuvky (jako je 120 V v USA nebo 230 V v Evropě) téměř vždy uváděna v hodnotách RMS, nikoli ve špičkových hodnotách. Špičkové hodnoty lze vypočítat z efektivních hodnot pomocí výše uvedeného vzorce, což znamená VP = V RMS × √2, za předpokladu, že zdrojem je čistá sinusovka. Špičková hodnota síťového napětí v USA je tedy asi 120 × √2, neboli asi 170 voltů. Napětí, zdvojnásobené, je asi 340 voltů. Podobný výpočet ukazuje, že špičkové síťové napětí v Evropě je kolem 325 voltů a maximální síťové napětí je kolem 650 voltů.

RMS veličiny, jako je elektrický proud, se obvykle počítají za jeden cyklus. Pro některé účely je však při výpočtu ztrát vysílacího výkonu vyžadován efektivní proud za delší dobu. Platí stejný princip a (například) proud 10 ampér používaný po dobu 12 hodin každých 24 hodin denně představuje průměrný proud 5 ampérů, ale rms proud dlouhodobě 7,07 ampér.

Termín RMS výkon je někdy v audio průmyslu mylně používán jako synonymum pro průměrný výkon nebo průměrný výkon (je úměrný druhé mocnině RMS napětí nebo RMS proudu v odporové zátěži). Diskusi o měřeních akustického výkonu a jejich omezeních naleznete v části Akustický výkon.

Rychlost

Ve fyzice molekul plynu je střední kvadratická rychlost definována jako druhá odmocnina střední druhé mocniny rychlosti. Rms rychlost ideálního plynu se vypočítá pomocí následující rovnice:

kde R je plynová konstanta, 8,314 J/(mol K), T je teplota plynu v kelvinech a M je molární hmotnost plynu v kilogramech na mol. Obvyklá terminologie pro rychlost versus rychlost je, že první je skalární veličinou druhé. Proto, i když je průměrná rychlost mezi nulou a střední kvadraturou rychlosti, průměrná rychlost pro stacionární plyn je nulová.

chyba

Když se porovnávají dvě sady dat – například jedna sada z teoretické predikce a druhá ze skutečného měření nějaké fyzikální proměnné, RMS spárovaných rozdílů dvou datových sad může sloužit jako měřítko toho, jak daleko je chyba. je v průměru od nuly. průměr párových rozdílů neměří variabilitu rozdílu, ale variabilitu, jak je indikována směrodatnou odchylkou kolem průměru spíše než 0. Proto je střední kvadrát rozdílů smysluplným měřítkem chyby.

Ve frekvenční oblasti

RMS hodnotu lze vypočítat ve frekvenční oblasti pomocí Parsevalova teorému. Pro vzorkovaný signál x [n] = x (t = n T), kde T je vzorkovací perioda,

∑ n = 1 N x 2 [n] = 1 N ∑ m = 1 N | X [m] | 2, ^ [n]> = > součet _ ^ zbývá | X [m] vpravo | ^ ,>

kde X [m] = FFT ⁡ > a N je velikost vzorku, tj. počet pozorování ve vzorku a koeficienty FFT.

V tomto případě je RMS vypočtená v časové oblasti stejná jako ve frekvenční oblasti:

Vztah k ostatním statistikám

Geometrický důkaz beze slov, že max (a, b) > střední čtverec nebo odmocnina (QM) > aritmetický průměr (AM) > geometrický průměr (GM) > harmonický průměr (HM) > min (a, b) dvou kladných čísel a a b

Z toho je zřejmé, že střední kvadratická hodnota je vždy větší nebo rovna průměru, protože střední kvadratická hodnota také zahrnuje “chybu” / kvadraturu odchylku.

Fyzikální vědci často používají termín “rms” jako synonymum pro směrodatnou odchylku, kdy lze předpokládat, že vstupní signál má nulovou střední hodnotu, to znamená, že se vztahuje na druhou odmocninu směrodatné odchylky signálu od dané základní linie resp. fit. To je užitečné pro elektrotechniky při výpočtu efektivní hodnoty signálu „pouze AC“. Směrodatná odchylka, což je standardní odchylka signálu od průměru, spíše než kolem 0, je odstraněna složka DC (tj. RMS(signál) = stdev(signál), pokud je střední signál 0).